Breve definición de triángulo. Propiedades de un triángulo. Incluyendo igualdad y semejanza, triángulos congruentes, lados de un triángulo, ángulos de un triángulo, área de un triángulo - fórmulas de cálculo, triángulo rectángulo, isósceles

La ciencia de la geometría nos dice qué son un triángulo, un cuadrado y un cubo. En el mundo moderno, todo el mundo, sin excepción, lo estudia en las escuelas. Además, la ciencia que estudia directamente qué es un triángulo y qué propiedades tiene es la trigonometría. Ella explora en detalle todos los fenómenos relacionados con los datos. Hablaremos sobre qué es un triángulo hoy en nuestro artículo. Sus tipos se describirán a continuación, así como algunos teoremas asociados con ellos.

¿Qué es un triángulo? Definición

Este es un polígono plano. Tiene tres esquinas, como se desprende de su nombre. También tiene tres lados y tres vértices, los primeros de ellos son segmentos, los segundos son puntos. Sabiendo a qué equivalen dos ángulos, puedes encontrar el tercero restando la suma de los dos primeros al número 180.

¿Qué tipos de triángulos hay?

Se pueden clasificar según varios criterios.

En primer lugar, se dividen en de ángulo agudo, de ángulo obtuso y rectangular. Los primeros tienen ángulos agudos, es decir, aquellos que miden menos de 90 grados. En los ángulos obtusos uno de los ángulos es obtuso, es decir aquel que mide más de 90 grados, los otros dos son agudos. Los triángulos agudos también incluyen triángulos equiláteros. Estos triángulos tienen todos los lados y ángulos iguales. Todos son iguales a 60 grados, esto se puede calcular fácilmente dividiendo la suma de todos los ángulos (180) por tres.

Triángulo rectángulo

Es imposible no hablar de qué es un triángulo rectángulo.

Tal figura tiene un ángulo igual a 90 grados (recto), es decir, dos de sus lados son perpendiculares. Los dos ángulos restantes son agudos. Pueden ser iguales, entonces serán isósceles. El teorema de Pitágoras está relacionado con el triángulo rectángulo. Utilizándolo, puedes encontrar el tercer lado, conociendo los dos primeros. Según este teorema, si sumas el cuadrado de un cateto al cuadrado del otro, puedes obtener el cuadrado de la hipotenusa. El cuadrado del cateto se puede calcular restando el cuadrado del cateto conocido del cuadrado de la hipotenusa. Hablando de qué es un triángulo, también podemos recordar un triángulo isósceles. Este es aquel en el que dos de los lados son iguales, y dos ángulos también son iguales.

¿Qué son el cateto y la hipotenusa?

Un cateto es uno de los lados de un triángulo que forma un ángulo de 90 grados. La hipotenusa es el lado restante opuesto al ángulo recto. Puedes bajar una perpendicular desde él hasta la pierna. La razón del lado adyacente a la hipotenusa se llama coseno y el lado opuesto se llama seno.

- ¿Cuáles son sus características?

Es rectangular. Sus catetos son tres y cuatro y su hipotenusa es cinco. Si ves que los catetos de un triángulo dado son iguales a tres y cuatro, puedes estar seguro de que la hipotenusa será igual a cinco. Además, utilizando este principio, puede determinar fácilmente que el cateto será igual a tres si el segundo es igual a cuatro y la hipotenusa es igual a cinco. Para probar esta afirmación, puedes aplicar el teorema de Pitágoras. Si dos catetos son iguales a 3 y 4, entonces 9 + 16 = 25, la raíz de 25 es 5, es decir, la hipotenusa es igual a 5. Un triángulo egipcio también es un triángulo rectángulo cuyos lados son iguales a 6, 8 y 10; 9, 12 y 15 y otros números con la proporción 3:4:5.

¿Qué más podría ser un triángulo?

Los triángulos también pueden estar inscritos o circunscritos. La figura alrededor de la cual se describe el círculo se llama inscrita; todos sus vértices son puntos que se encuentran en el círculo. Un triángulo circunscrito es aquel en el que está inscrita una circunferencia. Todos sus lados entran en contacto con él en determinados puntos.

¿Cómo está ubicado?

El área de cualquier figura se mide en unidades cuadradas (metros cuadrados, milímetros cuadrados, centímetros cuadrados, decímetros cuadrados, etc.). Este valor se puede calcular de varias formas, según el tipo de triángulo. El área de cualquier figura con ángulos se puede encontrar multiplicando su lado por la perpendicular que cae sobre ella desde la esquina opuesta y dividiendo esta figura por dos. También puedes encontrar este valor multiplicando los dos lados. Luego multiplica este número por el seno del ángulo ubicado entre estos lados y divide este resultado por dos. Conociendo todos los lados de un triángulo, pero sin conocer sus ángulos, puedes encontrar el área de otra forma. Para hacer esto necesitas encontrar la mitad del perímetro. Luego, alternativamente, resta diferentes lados de este número y multiplica los cuatro valores resultantes. A continuación, busque el número que salió. El área de un triángulo inscrito se puede encontrar multiplicando todos los lados y dividiendo el número resultante por el que está circunscrito a su alrededor, multiplicado por cuatro.

El área de un triángulo circunscrito se encuentra de esta forma: multiplicamos la mitad del perímetro por el radio del círculo que está inscrito en él. Si entonces su área se puede encontrar de la siguiente manera: eleva el lado al cuadrado, multiplica la cifra resultante por la raíz de tres y luego divide este número entre cuatro. De manera similar, puedes calcular la altura de un triángulo en el que todos los lados son iguales, para hacer esto necesitas multiplicar uno de ellos por la raíz de tres y luego dividir este número por dos.

Teoremas relacionados con el triángulo

Los principales teoremas asociados con esta figura son el teorema de Pitágoras descrito anteriormente y los cosenos. La segunda (de los senos) es que si divides cualquier lado por el seno del ángulo opuesto, puedes obtener el radio del círculo que se describe a su alrededor, multiplicado por dos. El tercero (cosenos) es que si a la suma de los cuadrados de los dos lados le restamos su producto multiplicado por dos y el coseno del ángulo situado entre ellos, entonces obtenemos el cuadrado del tercer lado.

Triángulo de Dalí: ¿qué es?

Muchos, ante este concepto, al principio piensan que se trata de algún tipo de definición en geometría, pero no es así en absoluto. El Triángulo de Dalí es el nombre común de tres lugares estrechamente relacionados con la vida del famoso artista. Sus “picos” son la casa en la que vivió Salvador Dalí, el castillo que le regaló a su esposa, así como el museo de pinturas surrealistas. Durante el recorrido por estos lugares podrás aprender muchos datos interesantes sobre este artista creativo único, conocido en todo el mundo.

Generalmente, dos triángulos se consideran similares si tienen la misma forma, aunque sean de diferentes tamaños, estén girados o incluso al revés.

La representación matemática de dos triángulos semejantes A 1 B 1 C 1 y A 2 B 2 C 2 que se muestran en la figura se escribe de la siguiente manera:

ΔA 1 B 1 C 1 ~ ΔA 2 B 2 C 2

Dos triángulos son semejantes si:

1. Cada ángulo de un triángulo es igual al ángulo correspondiente de otro triángulo:
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2 Y ∠C 1 = ∠C 2

2. Las razones entre los lados de un triángulo y los lados correspondientes de otro triángulo son iguales entre sí:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Relaciones dos lados un triángulo a los lados correspondientes de otro triángulo son iguales entre sí y al mismo tiempo
los ángulos entre estos lados son iguales:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ y $\ángulo A_1 = \ángulo A_2$
o
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ y $\ángulo B_1 = \ángulo B_2$
o
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ y $\ángulo C_1 = \ángulo C_2$

No confundas triángulos semejantes con triángulos iguales. Los triángulos iguales tienen longitudes de lados correspondientes iguales. Por tanto, para triángulos congruentes:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

De esto se deduce que todos los triángulos iguales son semejantes. Sin embargo, no todos los triángulos semejantes son iguales.

Aunque la notación anterior muestra que para saber si dos triángulos son semejantes o no debemos conocer los valores de los tres ángulos o las longitudes de los tres lados de cada triángulo, para resolver problemas con triángulos semejantes basta con saber tres de los valores mencionados anteriormente para cada triángulo. Estas cantidades pueden estar en varias combinaciones:

1) tres ángulos de cada triángulo (no necesitas saber las longitudes de los lados de los triángulos).

O al menos 2 ángulos de un triángulo deben ser iguales a 2 ángulos de otro triángulo.
Ya que si 2 ángulos son iguales, entonces el tercer ángulo también será igual (el valor del tercer ángulo es 180 - ángulo1 - ángulo2)

2) las longitudes de los lados de cada triángulo (no es necesario conocer los ángulos);

3) las longitudes de los dos lados y el ángulo entre ellos.

A continuación veremos cómo resolver algunos problemas con triángulos semejantes. Primero veremos problemas que se pueden resolver usando directamente las reglas anteriores y luego discutiremos algunos problemas prácticos que se pueden resolver usando el método de triángulos semejantes.

Practica problemas con triángulos semejantes.

Ejemplo 1: Demuestre que los dos triángulos de la siguiente figura son similares.

Solución:
Como se conocen las longitudes de los lados de ambos triángulos, aquí se puede aplicar la segunda regla:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Ejemplo #2: Demuestre que dos triángulos dados son similares y determine las longitudes de los lados PQ Y relaciones públicas.

Solución:
∠A = ∠P Y ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(ya que ∠C = 180 - ∠A - ∠B y ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

De esto se deduce que los triángulos ΔABC y ΔPQR son semejantes. Por eso:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ y
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$

Ejemplo #3: determinar la longitud AB en este triángulo.

Solución:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED Y ∠A general => triángulos ΔABC Y ΔADE son similares.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

Ejemplo #4: determinar la longitud anuncio (x) figura geométrica en la imagen.

Los triángulos ΔABC y ΔCDE son similares porque AB || DE y tienen una esquina superior común C.
Vemos que un triángulo es una versión escalada del otro. Sin embargo, necesitamos demostrar esto matemáticamente.

AB || DE, CD || AC y BC || CE.
∠BAC = ∠EDC y ∠ABC = ∠DEC

Con base en lo anterior y teniendo en cuenta la presencia de un ángulo común C, podemos afirmar que los triángulos ΔABC y ΔCDE son similares.

Por eso:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23,57$
x = CA - CC = 23,57 - 15 = 8,57

Ejemplos prácticos

Ejemplo #5: La fábrica utiliza una cinta transportadora inclinada para transportar productos del nivel 1 al nivel 2, que está 3 metros más alto que el nivel 1, como se muestra en la figura. El transportador inclinado se sirve desde un extremo hasta el nivel 1 y desde el otro extremo hasta un lugar de trabajo ubicado a una distancia de 8 metros del punto de operación del nivel 1.

La fábrica quiere mejorar el transportador para acceder al nuevo nivel, que se encuentra 9 metros por encima del nivel 1, manteniendo el ángulo de inclinación del transportador.

Determine la distancia a la que se debe instalar la nueva estación de trabajo para garantizar que el transportador opere en su nuevo extremo en el nivel 2. También calcule la distancia adicional que recorrerá el producto al pasar al nuevo nivel.

Solución:

Primero, etiquetemos cada punto de intersección con una letra específica, como se muestra en la figura.

Con base en el razonamiento dado anteriormente en los ejemplos anteriores, podemos concluir que los triángulos ΔABC y ΔADE son similares. Por eso,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 millones$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16m

Así, el nuevo punto deberá instalarse a una distancia de 16 metros del punto existente.

Y como la estructura consta de triángulos rectángulos, podemos calcular la distancia de movimiento del producto de la siguiente manera:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

De manera similar, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
que es la distancia que recorre actualmente el producto cuando alcanza el nivel existente.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
esta es la distancia adicional que debe recorrer el producto para alcanzar un nuevo nivel.

Ejemplo #6: Steve quiere visitar a su amigo que recientemente se mudó a una nueva casa. En la figura se muestra el mapa de ruta hasta la casa de Steve y su amigo, junto con las distancias que Steve conoce. Ayuda a Steve a llegar a la casa de su amigo en el menor tiempo posible.

Solución:

La hoja de ruta se puede representar geométricamente de la siguiente forma, como se muestra en la figura.

Vemos que los triángulos ΔABC y ΔCDE son semejantes, por tanto:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

El enunciado del problema establece que:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km y DE = 5 km

Con esta información podemos calcular las siguientes distancias:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4.41)(5) = 13.23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13.13 \times 4.41)(13.23) = 4.38 km$

Steve puede llegar a la casa de su amigo utilizando las siguientes rutas:

A -> B -> C -> E -> G, la distancia total es 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, la distancia total es 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, la distancia total es 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, la distancia total es 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Por lo tanto, la ruta número 3 es la más corta y se le puede ofrecer a Steve.

Ejemplo 7:
Trisha quiere medir la altura de la casa, pero no tiene las herramientas adecuadas. Se dio cuenta de que había un árbol creciendo frente a la casa y decidió utilizar su ingenio y conocimientos de geometría adquiridos en la escuela para determinar la altura del edificio. Midió la distancia del árbol a la casa, el resultado fue 30 m, luego se paró frente al árbol y comenzó a retroceder hasta que el borde superior del edificio se hizo visible por encima de la copa del árbol. Trisha marcó este lugar y midió la distancia desde allí hasta el árbol. Esta distancia fue de 5 m.

La altura del árbol es de 2,8 m y la altura del nivel de los ojos de Trisha es de 1,6 m. Ayude a Trisha a determinar la altura del edificio.

Solución:

La representación geométrica del problema se muestra en la figura.

Primero usamos la similitud de los triángulos ΔABC y ΔADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2.8 \times AC = 1.6 \times (5 + AC) = 8 + 1,6 \veces AC$

$(2.8 - 1.6) \times AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1.2) = 6.67$

Entonces podemos usar la similitud de los triángulos ΔACB y ΔAFG o ΔADE y ΔAFG. Elijamos la primera opción.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Rightarrow H = \frac(1.6 )(0,16) = 10 m$

Triángulo - definición y conceptos generales

Un triángulo es un polígono simple que consta de tres lados y tiene el mismo número de ángulos. Sus planos están limitados por 3 puntos y 3 segmentos que conectan estos puntos por pares.

Todos los vértices de cualquier triángulo, independientemente de su tipo, se designan con letras latinas mayúsculas, y sus lados se representan con las designaciones correspondientes de los vértices opuestos, solo que no con letras mayúsculas, sino con letras pequeñas. Entonces, por ejemplo, un triángulo con vértices etiquetados como A, B y C tiene lados a, b, c.

Si consideramos un triángulo en el espacio euclidiano, entonces es una figura geométrica que se forma a partir de tres segmentos que conectan tres puntos que no se encuentran en la misma línea recta.

Mire atentamente la imagen que se muestra arriba. En él, los puntos A, B y C son los vértices de este triángulo, y sus segmentos se llaman lados del triángulo. Cada vértice de este polígono forma ángulos en su interior.

tipos de triangulos

Según el tamaño de los ángulos de los triángulos, se dividen en variedades como: rectangulares;
Angular agudo;
Obtuso.

Los triángulos rectangulares incluyen aquellos que tienen un ángulo recto y los otros dos tienen ángulos agudos.

Los triángulos agudos son aquellos en los que todos sus ángulos son agudos.

Y si un triángulo tiene un ángulo obtuso y los otros dos ángulos agudos, entonces dicho triángulo se clasifica como obtuso.

Cada uno de ustedes entiende perfectamente que no todos los triángulos tienen lados iguales. Y según la longitud de sus lados, los triángulos se pueden dividir en:

Isósceles;
Equilátero;
Versátil.

Tarea: Dibuja diferentes tipos de triángulos. Definirlos. ¿Qué diferencia ves entre ellos?

Propiedades básicas de los triángulos.

Aunque estos polígonos simples pueden diferir entre sí en el tamaño de sus ángulos o lados, cada triángulo tiene las propiedades básicas que son características de esta figura.

En cualquier triángulo:

La suma total de todos sus ángulos es 180º.
Si pertenece a equiláteros, entonces cada uno de sus ángulos mide 60º.
Un triángulo equilátero tiene ángulos iguales e iguales.
Cuanto más pequeño es el lado del polígono, menor es el ángulo opuesto a él y, viceversa, el ángulo mayor es el opuesto al lado mayor.
Si los lados son iguales, entonces frente a ellos hay ángulos iguales y viceversa.
Si tomamos un triángulo y ampliamos su lado, obtenemos un ángulo externo. Es igual a la suma de los ángulos internos.
En cualquier triángulo, su lado, no importa cuál elijas, seguirá siendo menor que la suma de los otros 2 lados, pero mayor que su diferencia:

1. un< b + c, a >antes de Cristo;
2.b< a + c, b >C.A;
3.c< a + b, c >a–b.

Ejercicio

La tabla muestra los dos ángulos del triángulo ya conocidos. Conociendo la suma total de todos los ángulos, encuentra cuál es igual al tercer ángulo del triángulo e ingrésalo en la tabla:

1. ¿Cuántos grados tiene el tercer ángulo?
2. ¿A qué tipo de triángulo pertenece?

Pruebas de equivalencia de triángulos.

yo firmo

signo

signo III

Altura, bisectriz y mediana de un triángulo.

La altura de un triángulo: la perpendicular trazada desde el vértice de la figura hasta su lado opuesto se llama altura del triángulo. Todas las alturas de un triángulo se cortan en un punto. El punto de intersección de las 3 altitudes de un triángulo es su ortocentro.

Un segmento extraído de un vértice dado y que lo conecta en el medio del lado opuesto es la mediana. Las medianas, al igual que las altitudes de un triángulo, tienen un punto de intersección común, el llamado centro de gravedad del triángulo o centroide.

La bisectriz de un triángulo es un segmento que conecta el vértice de un ángulo y un punto del lado opuesto, y que además divide este ángulo por la mitad. Todas las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto, que se llama centro del círculo inscrito en el triángulo.

El segmento que conecta los puntos medios de 2 lados de un triángulo se llama línea media.

Referencia histórica

Una figura como un triángulo ya era conocida en la antigüedad. Esta figura y sus propiedades fueron mencionadas en papiros egipcios hace cuatro mil años. Un poco más tarde, gracias al teorema de Pitágoras y la fórmula de Herón, el estudio de las propiedades de un triángulo pasó a un nivel superior, pero esto sucedió hace más de dos mil años.

En los siglos XV-XVI se comenzaron a realizar muchas investigaciones sobre las propiedades de un triángulo, y como resultado surgió una ciencia como la planimetría, que se denominó “Nueva Geometría del Triángulo”.

El científico ruso N.I. Lobachevsky hizo una gran contribución al conocimiento de las propiedades de los triángulos. Posteriormente, sus trabajos encontraron aplicación en matemáticas, física y cibernética.

Gracias al conocimiento de las propiedades de los triángulos, surgió una ciencia como la trigonometría. Resultó ser necesario para una persona en sus necesidades prácticas, ya que su uso es simplemente necesario al elaborar mapas, medir áreas e incluso al diseñar diversos mecanismos.

¿Cuál es el triángulo más famoso que conoces? ¡Esto es, por supuesto, el Triángulo de las Bermudas! Recibió este nombre en los años 50 por la ubicación geográfica de los puntos (vértices del triángulo), dentro de los cuales, según la teoría existente, surgieron anomalías asociadas a él. Los vértices del Triángulo de las Bermudas son Bermuda, Florida y Puerto Rico.

Tarea: ¿Qué teorías sobre el Triángulo de las Bermudas has oído?

¿Sabías que en la teoría de Lobachevsky, al sumar los ángulos de un triángulo, su suma siempre da como resultado menos de 180º? En la geometría de Riemann la suma de todos los ángulos de un triángulo es mayor que 180º, y en las obras de Euclides es igual a 180 grados.

Tarea

Resolver un crucigrama sobre un tema determinado.

Preguntas para el crucigrama:

1. ¿Cómo se llama la perpendicular que se traza desde el vértice del triángulo hasta la recta ubicada en el lado opuesto?
2. ¿Cómo, en una palabra, se puede llamar la suma de las longitudes de los lados de un triángulo?
3. Nombra un triángulo cuyos dos lados sean iguales.
4. ¿Nombra un triángulo que tenga un ángulo igual a 90°?
5. ¿Cómo se llama el lado más grande del triángulo?
6. ¿Cómo se llama el lado de un triángulo isósceles?
7. Siempre hay tres en cualquier triángulo.
8. ¿Cómo se llama un triángulo en el que uno de los ángulos excede los 90°?
9. ¿El nombre del segmento que conecta la parte superior de nuestra figura con la mitad del lado opuesto?
10. En un polígono simple ABC, ¿la letra A mayúscula es...?
11. ¿Cómo se llama el segmento que divide el ángulo de un triángulo por la mitad?

Preguntas sobre el tema de los triángulos:

1. Defínelo.
2. ¿Cuántas alturas tiene?
3. ¿Cuántas bisectrices tiene un triángulo?
4. ¿Cuál es la suma de sus ángulos?
5. ¿Qué tipos de este polígono simple conoces?
6. Nombra los puntos de los triángulos que se llaman notables.
7. ¿Qué dispositivo puedes usar para medir el ángulo?
8. Si las manecillas del reloj marcan las 21 en punto. ¿Qué ángulo forman las manecillas de las horas?
9. ¿En qué ángulo gira una persona si se le da la orden "izquierda", "círculo"?
10. ¿Qué otras definiciones conoces que estén asociadas a una figura que tiene tres ángulos y tres lados?