Breve definizione di triangolo. Proprietà di un triangolo. Incluse uguaglianza e somiglianza, triangoli congruenti, lati di un triangolo, angoli di un triangolo, area di un triangolo - formule di calcolo, triangolo rettangolo, isoscele

La scienza della geometria ci dice cosa sono un triangolo, un quadrato e un cubo. Nel mondo moderno, tutti senza eccezioni lo studiano nelle scuole. Inoltre, la scienza che studia direttamente cos'è un triangolo e quali proprietà ha è la trigonometria. Esplora in dettaglio tutti i fenomeni legati ai dati e parleremo di cos'è un triangolo oggi nel nostro articolo. I loro tipi saranno descritti di seguito, così come alcuni teoremi ad essi associati.

Cos'è un triangolo? Definizione

Questo è un poligono piatto. Ha tre angoli, come si evince dal nome. Ha anche tre lati e tre vertici, i primi sono segmenti, i secondi sono punti. Sapendo a quanto sono uguali due angoli, puoi trovare il terzo sottraendo la somma dei primi due dal numero 180.

Quanti tipi di triangoli esistono?

Possono essere classificati secondo vari criteri.

Innanzitutto si dividono in ad angoli acuti, ottusi e rettangolari. I primi hanno angoli acuti, cioè uguali a meno di 90 gradi. Negli angoli ottusi, uno degli angoli è ottuso, cioè uguale a più di 90 gradi, gli altri due sono acuti. I triangoli acuti includono anche i triangoli equilateri. Tali triangoli hanno tutti i lati e gli angoli uguali. Sono tutti uguali a 60 gradi, questo può essere facilmente calcolato dividendo la somma di tutti gli angoli (180) per tre.

Triangolo rettangolo

È impossibile non parlare di cos'è un triangolo rettangolo.

Tale figura ha un angolo pari a 90 gradi (rettilineo), cioè due dei suoi lati sono perpendicolari. I restanti due angoli sono acuti. Possono essere uguali, quindi sarà isoscele. Il teorema di Pitagora è legato al triangolo rettangolo. Usandolo, puoi trovare il terzo lato, conoscendo i primi due. Secondo questo teorema, se aggiungi il quadrato di un cateto al quadrato dell'altro, puoi ottenere il quadrato dell'ipotenusa. Il quadrato della gamba può essere calcolato sottraendo il quadrato della gamba conosciuta dal quadrato dell'ipotenusa. Parlando di cos'è un triangolo, possiamo anche ricordare un triangolo isoscele. Questo è quello in cui due lati sono uguali e anche due angoli sono uguali.

Cosa sono gamba e ipotenusa?

Una gamba è uno dei lati di un triangolo che forma un angolo di 90 gradi. L'ipotenusa è il lato rimanente opposto all'angolo retto. Puoi abbassare una perpendicolare da esso sulla gamba. Il rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa si chiama coseno, mentre il cateto opposto si chiama seno.

- quali sono le sue caratteristiche?

È rettangolare. I suoi cateti sono tre e quattro e la sua ipotenusa è cinque. Se vedi che i cateti di un dato triangolo sono uguali a tre e quattro, puoi star certo che l'ipotenusa sarà uguale a cinque. Inoltre, utilizzando questo principio, puoi facilmente determinare che la gamba sarà uguale a tre se il secondo è uguale a quattro e l'ipotenusa è uguale a cinque. Per dimostrare questa affermazione, puoi applicare il teorema di Pitagora. Se due cateti sono uguali a 3 e 4, allora 9 + 16 = 25, la radice di 25 è 5, cioè l'ipotenusa è uguale a 5. Un triangolo egiziano è anche un triangolo rettangolo i cui lati sono uguali a 6, 8 e 10; 9, 12 e 15 e altri numeri con il rapporto 3:4:5.

Cos'altro potrebbe essere un triangolo?

I triangoli possono anche essere inscritti o circoscritti. La figura attorno alla quale è descritto il cerchio si dice inscritta; tutti i suoi vertici sono punti giacenti sul cerchio. Un triangolo circoscritto è quello in cui è inscritto un cerchio. Tutti i suoi lati entrano in contatto con esso in determinati punti.

Come si trova?

L'area di qualsiasi figura è misurata in unità quadrate (metri quadrati, millimetri quadrati, centimetri quadrati, decimetri quadrati, ecc.). Questo valore può essere calcolato in vari modi, a seconda del tipo di triangolo. L'area di qualsiasi figura con angoli può essere trovata moltiplicando il suo lato per la perpendicolare lasciata cadere su di essa dall'angolo opposto e dividendo questa figura per due. Puoi trovare questo valore anche moltiplicando i due lati. Quindi moltiplica questo numero per il seno dell'angolo situato tra questi lati e dividi questo risultato per due. Conoscendo tutti i lati di un triangolo, ma non conoscendone gli angoli, puoi trovare l'area in un altro modo. Per fare questo devi trovare metà del perimetro. Quindi sottrai alternativamente diversi lati da questo numero e moltiplica i quattro valori risultanti. Quindi, trova dal numero che è uscito. L'area di un triangolo inscritto si trova moltiplicando tutti i lati e dividendo il numero risultante per quello circoscritto attorno ad esso, moltiplicato per quattro.

L'area di un triangolo circoscritto si trova in questo modo: moltiplichiamo metà del perimetro per il raggio del cerchio in esso inscritto. Se quindi la sua area può essere trovata come segue: eleva il lato, moltiplica la cifra risultante per la radice di tre, quindi dividi questo numero per quattro. In modo simile, puoi calcolare l'altezza di un triangolo in cui tutti i lati sono uguali; per fare ciò, devi moltiplicarne uno per la radice di tre, quindi dividere questo numero per due.

Teoremi relativi al triangolo

I principali teoremi associati a questa figura sono il teorema di Pitagora sopra descritto e i coseni. Il secondo (dei seni) è che dividendo un lato qualsiasi per il seno dell'angolo opposto, si ottiene il raggio del cerchio che gli è descritto attorno, moltiplicato per due. Il terzo (coseno) è che se dalla somma dei quadrati dei due lati sottraiamo il loro prodotto, moltiplicato per due e per il coseno dell'angolo compreso tra loro, allora otteniamo il quadrato del terzo lato.

Triangolo di Dali: che cos'è?

Molti, di fronte a questo concetto, inizialmente pensano che si tratti di una sorta di definizione in geometria, ma non è affatto così. Il Triangolo di Dalì è il nome comune di tre luoghi strettamente legati alla vita del famoso artista. Le sue "vette" sono la casa in cui visse Salvador Dalì, il castello che donò a sua moglie, così come il museo dei dipinti surrealisti. Durante la visita di questi luoghi potrete apprendere molti fatti interessanti su questo artista creativo unico, conosciuto in tutto il mondo.

In genere due triangoli sono considerati simili se hanno la stessa forma, anche se di dimensioni diverse, ruotati o addirittura capovolti.

La rappresentazione matematica di due triangoli simili A 1 B 1 C 1 e A 2 B 2 C 2 mostrata in figura è scritta come segue:

ΔA 1 B 1 C 1 ~ ΔA 2 B 2 C 2

Due triangoli sono simili se:

1. Ciascun angolo di un triangolo è uguale all'angolo corrispondente di un altro triangolo:
∠A1 = ∠A2, ∠B1 = ∠B2 E ∠C1 = ∠C2

2. I rapporti tra i lati di un triangolo e i lati corrispondenti di un altro triangolo sono uguali tra loro:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Relazioni due lati un triangolo ai lati corrispondenti di un altro triangolo sono uguali tra loro e allo stesso tempo
gli angoli tra questi lati sono uguali:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ e $\angle A_1 = \angle A_2$
O
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ e $\angle B_1 = \angle B_2$
O
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ e $\angle C_1 = \angle C_2$

Non confondere i triangoli simili con i triangoli uguali. I triangoli uguali hanno la stessa lunghezza dei lati corrispondenti. Pertanto, per triangoli congruenti:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Ne consegue che tutti i triangoli uguali sono simili. Tuttavia, non tutti i triangoli simili sono uguali.

Sebbene la notazione sopra mostri che per scoprire se due triangoli sono simili o no, dobbiamo conoscere i valori dei tre angoli o le lunghezze dei tre lati di ciascun triangolo, per risolvere problemi con triangoli simili è sufficiente sapere tre qualsiasi dei valori sopra menzionati per ciascun triangolo. Queste quantità possono essere in varie combinazioni:

1) tre angoli di ogni triangolo (non è necessario conoscere la lunghezza dei lati dei triangoli).

Oppure almeno 2 angoli di un triangolo devono essere uguali a 2 angoli di un altro triangolo.
Poiché se 2 angoli sono uguali, anche il terzo angolo sarà uguale (il valore del terzo angolo è 180 - angolo1 - angolo2).

2) le lunghezze dei lati di ciascun triangolo (non è necessario conoscere gli angoli);

3) le lunghezze dei due lati e l'angolo tra loro.

Successivamente vedremo come risolvere alcuni problemi con triangoli simili. Per prima cosa esamineremo i problemi che possono essere risolti utilizzando direttamente le regole di cui sopra, quindi discuteremo alcuni problemi pratici che possono essere risolti utilizzando il metodo simile del triangolo.

Esercitati su problemi con triangoli simili

Esempio 1: Mostra che i due triangoli nella figura seguente sono simili.

Soluzione:
Poiché le lunghezze dei lati di entrambi i triangoli sono note, qui si può applicare la seconda regola:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Esempio n.2: Mostra che due triangoli dati sono simili e determina la lunghezza dei lati PQ E PR.

Soluzione:
∠A = ∠P E ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(poiché ∠C = 180 - ∠A - ∠B e ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Ne consegue che i triangoli ΔABC e ΔPQR sono simili. Quindi:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ e
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14 $

Esempio n.3: Determina la lunghezza AB in questo triangolo.

Soluzione:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED E ∠A generale => triangoli ΔABC E ΔADE sono simili.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

Esempio n.4: Determina la lunghezza d.C. (x) figura geometrica nella foto.

I triangoli ΔABC e ΔCDE sono simili perché AB || DE e hanno un angolo superiore comune C.
Vediamo che un triangolo è una versione in scala dell'altro. Dobbiamo però dimostrarlo matematicamente.

AB || DE, CD || AC e AC || CE
∠BAC = ∠EDC e ∠ABC = ∠DEC

Sulla base di quanto sopra e tenendo conto della presenza di un angolo comune C, possiamo affermare che i triangoli ΔABC e ΔCDE sono simili.

Quindi:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23,57$
x = CA - CC = 23,57 - 15 = 8,57

Esempi pratici

Esempio n.5: La fabbrica utilizza un nastro trasportatore inclinato per trasportare i prodotti dal livello 1 al livello 2, che è 3 metri più alto rispetto al livello 1, come mostrato in figura. Il trasportatore inclinato è servito da un'estremità al livello 1 e dall'altra estremità ad un posto di lavoro situato a una distanza di 8 metri dal punto operativo del livello 1.

La fabbrica vuole potenziare il trasportatore per accedere al nuovo livello, che si trova 9 metri sopra il livello 1, mantenendo l'angolo di inclinazione del trasportatore.

Determinare la distanza alla quale deve essere installata la nuova stazione di lavoro per garantire che il trasportatore funzioni alla sua nuova estremità al livello 2. Calcolare inoltre la distanza aggiuntiva che il prodotto percorrerà quando si sposta al nuovo livello.

Soluzione:

Innanzitutto, etichettiamo ciascun punto di intersezione con una lettera specifica, come mostrato in figura.

In base al ragionamento fatto negli esempi precedenti, possiamo concludere che i triangoli ΔABC e ΔADE sono simili. Quindi,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 milioni di dollari
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Pertanto, il nuovo punto deve essere installato ad una distanza di 16 metri dal punto esistente.

E poiché la struttura è composta da triangoli rettangoli, possiamo calcolare la distanza di movimento del prodotto come segue:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

Allo stesso modo, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
ovvero la distanza percorsa attualmente dal prodotto quando raggiunge il livello esistente.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
questa è la distanza aggiuntiva che il prodotto deve percorrere per raggiungere un nuovo livello.

Esempio n.6: Steve vuole visitare il suo amico che si è recentemente trasferito in una nuova casa. Nella figura è mostrata la mappa stradale per raggiungere la casa di Steve e del suo amico, insieme alle distanze note a Steve. Aiuta Steve a raggiungere la casa del suo amico nel più breve tempo possibile.

Soluzione:

La mappa stradale può essere rappresentata geometricamente nella forma seguente, come mostrato in figura.

Vediamo che i triangoli ΔABC e ΔCDE sono simili, quindi:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

La dichiarazione del problema afferma che:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km e DE = 5 km

Utilizzando queste informazioni possiamo calcolare le seguenti distanze:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4,41)(5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13,13 \times 4,41)(13,23) = 4,38 km$

Steve può arrivare a casa del suo amico utilizzando i seguenti percorsi:

A -> B -> C -> E -> G, la distanza totale è 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, la distanza totale è 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, la distanza totale è 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, la distanza totale è 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Pertanto, il percorso n. 3 è il più breve e può essere offerto a Steve.

Esempio 7:
Trisha vuole misurare l'altezza della sua casa, ma non ha gli strumenti giusti. Notò che davanti alla casa cresceva un albero e decise di utilizzare la sua intraprendenza e la conoscenza della geometria acquisita a scuola per determinare l'altezza dell'edificio. Ha misurato la distanza dall'albero alla casa, il risultato è stato 30 metri, poi si è messa di fronte all'albero e ha iniziato a spostarsi indietro finché il bordo superiore dell'edificio non è diventato visibile sopra la cima dell'albero. Trisha ha segnato questo posto e ha misurato la distanza da esso all'albero. Questa distanza era di 5 m.

L'altezza dell'albero è di 2,8 me l'altezza del livello degli occhi di Trisha è di 1,6 m Aiuta Trisha a determinare l'altezza dell'edificio.

Soluzione:

La rappresentazione geometrica del problema è mostrata in figura.

Per prima cosa usiamo la somiglianza dei triangoli ΔABC e ΔADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2.8 \times AC = 1.6 \times (5 + AC) = 8 + 1,6 \volte AC$

$(2,8 - 1,6) \times AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1,2) = 6,67$

Possiamo quindi utilizzare la somiglianza dei triangoli ΔACB e ΔAFG o ΔADE e ΔAFG. Scegliamo la prima opzione.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Rightarrow H = \frac(1.6 )(0,16) = 10 m$

Triangolo: definizione e concetti generali

Un triangolo è un poligono semplice formato da tre lati e avente lo stesso numero di angoli. I suoi piani sono limitati da 3 punti e 3 segmenti che collegano questi punti a coppie.

Tutti i vertici di qualsiasi triangolo, indipendentemente dal suo tipo, sono designati con lettere latine maiuscole, e i suoi lati sono rappresentati dalle corrispondenti designazioni dei vertici opposti, solo non in maiuscolo, ma in piccolo. Quindi, ad esempio, un triangolo con vertici etichettati A, B e C ha lati a, b, c.

Se consideriamo un triangolo nello spazio euclideo, allora è una figura geometrica formata da tre segmenti che collegano tre punti che non giacciono sulla stessa linea retta.

Osserva attentamente l'immagine mostrata sopra. Su di esso, i punti A, B e C sono i vertici di questo triangolo e i suoi segmenti sono chiamati lati del triangolo. Ogni vertice di questo poligono forma angoli al suo interno.

Tipi di triangoli

In base alla dimensione degli angoli dei triangoli, sono divisi in varietà come: Rettangolare;
angolare acuto;
Ottuso.

I triangoli rettangolari includono quelli che hanno un angolo retto e gli altri due angoli acuti.

I triangoli acuti sono quelli in cui tutti gli angoli sono acuti.

E se un triangolo ha un angolo ottuso e gli altri due angoli acuti, allora tale triangolo è classificato come ottuso.

Ognuno di voi capisce perfettamente che non tutti i triangoli hanno i lati uguali. E a seconda della lunghezza dei lati, i triangoli possono essere divisi in:

Isoscele;
Equilatero;
Versatile.

Compito: Disegna diversi tipi di triangoli. Definirli. Che differenza vedi tra loro?

Proprietà fondamentali dei triangoli

Sebbene questi poligoni semplici possano differire l'uno dall'altro nella dimensione degli angoli o dei lati, ogni triangolo ha le proprietà di base caratteristiche di questa figura.

In qualsiasi triangolo:

La somma totale di tutti i suoi angoli è 180º.
Se appartiene agli equilateri, ciascuno dei suoi angoli è di 60º.
Un triangolo equilatero ha gli angoli uguali e uguali.
Quanto più piccolo è il lato del poligono, tanto più piccolo è l'angolo opposto ad esso e viceversa, l'angolo maggiore è opposto al lato maggiore.
Se i lati sono uguali allora gli angoli opposti sono uguali e viceversa.
Se prendiamo un triangolo e ne estendiamo il lato, otteniamo un angolo esterno. È uguale alla somma degli angoli interni.
In qualsiasi triangolo, il suo lato, indipendentemente da quale scegli, sarà comunque inferiore alla somma degli altri 2 lati, ma superiore alla loro differenza:

1.a< b + c, a >avanti Cristo;
2. b< a + c, b >AC;
3. c< a + b, c >a–b.

Esercizio

La tabella mostra i due angoli già noti del triangolo. Conoscendo la somma totale di tutti gli angoli, trova a quanto è uguale il terzo angolo del triangolo e inseriscilo nella tabella:

1. Quanti gradi ha il terzo angolo?
2. A quale tipo di triangolo appartiene?

Test di equivalenza dei triangoli

Firmo

II segno

III segno

Altezza, bisettrice e mediana di un triangolo

L'altezza di un triangolo - la perpendicolare tracciata dal vertice della figura al suo lato opposto si chiama altezza del triangolo. Tutte le altezze di un triangolo si intersecano in un punto. Il punto di intersezione delle tre altezze di un triangolo è il suo ortocentro.

Un segmento tracciato da un dato vertice e che lo collega al centro del lato opposto è la mediana. Le mediane, così come le altezze di un triangolo, hanno un punto di intersezione comune, il cosiddetto centro di gravità del triangolo o baricentro.

La bisettrice di un triangolo è un segmento che collega il vertice di un angolo e un punto sul lato opposto e divide anche questo angolo a metà. Tutte le bisettrici di un triangolo si intersecano in un punto, che si chiama centro del cerchio inscritto nel triangolo.

Il segmento che collega i punti medi dei 2 lati di un triangolo si chiama linea mediana.

Riferimento storico

Una figura come un triangolo era conosciuta già nei tempi antichi. Questa figura e le sue proprietà furono menzionate sui papiri egiziani quattromila anni fa. Un po 'più tardi, grazie al teorema di Pitagora e alla formula di Erone, lo studio delle proprietà del triangolo passò a un livello superiore, ma ciò avvenne comunque più di duemila anni fa.

Nei secoli XV-XVI iniziarono molte ricerche sulle proprietà di un triangolo e, di conseguenza, nacque una scienza come la planimetria, chiamata "Nuova geometria del triangolo".

Lo scienziato russo N. I. Lobachevskij ha dato un enorme contributo alla conoscenza delle proprietà dei triangoli. Successivamente i suoi lavori trovarono applicazione in matematica, fisica e cibernetica.

Grazie alla conoscenza delle proprietà dei triangoli, è nata una scienza come la trigonometria. Si è rivelato necessario per una persona nelle sue esigenze pratiche, poiché il suo utilizzo è semplicemente necessario quando si redigono mappe, si misurano aree e anche quando si progettano vari meccanismi.

Qual è il triangolo più famoso che conosci? Questo è ovviamente il Triangolo delle Bermuda! Ha ricevuto questo nome negli anni '50 a causa della posizione geografica dei punti (vertici del triangolo), all'interno dei quali, secondo la teoria esistente, sono sorte anomalie ad esso associate. I vertici del Triangolo delle Bermuda sono Bermuda, Florida e Porto Rico.

Compito: quali teorie sul Triangolo delle Bermuda hai sentito?

Sapevi che nella teoria di Lobachevskij, quando si sommano gli angoli di un triangolo, la loro somma dà sempre un risultato inferiore a 180º. Nella geometria di Riemann, la somma di tutti gli angoli di un triangolo è maggiore di 180º, e nelle opere di Euclide è pari a 180 gradi.

Compiti a casa

Risolvi un cruciverba su un determinato argomento

Domande per il cruciverba:

1. Come si chiama la perpendicolare che va dal vertice del triangolo alla retta situata sul lato opposto?
2. Come puoi, in una parola, chiamare la somma delle lunghezze dei lati di un triangolo?
3. Nomina un triangolo i cui due lati sono uguali?
4. Nomina un triangolo che ha un angolo pari a 90°?
5. Qual è il nome del lato più grande del triangolo?
6. Qual è il nome del lato di un triangolo isoscele?
7. Ce ne sono sempre tre in ogni triangolo.
8. Come si chiama un triangolo in cui uno degli angoli supera i 90°?
9. Il nome del segmento che collega la parte superiore della nostra figura con il centro del lato opposto?
10. In un semplice poligono ABC, la lettera maiuscola A è...?
11. Qual è il nome del segmento che divide a metà l'angolo di un triangolo?

Domande sul tema dei triangoli:

1. Definirlo.
2. Quante altezze ha?
3. Quante bisettrici ha un triangolo?
4. Qual è la somma degli angoli?
5. Quali tipi di questo poligono semplice conosci?
6. Nomina i punti dei triangoli che sono chiamati notevoli.
7. Quale dispositivo puoi utilizzare per misurare l'angolo?
8. Se le lancette dell'orologio indicano le 21. Che angolo formano le lancette delle ore?
9. Con quale angolo gira una persona se gli viene dato il comando "sinistra", "cerchio"?
10. Quali altre definizioni conosci associate a una figura che ha tre angoli e tre lati?