Способы задания плоскости на чертеже. Способы задания плоскости на эпюре Аксиома первая способ задания плоскости в пространстве

Положение плоскости в пространстве определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой, прямой и точкой, взятой вне прямой, двумя пересекающимися прямыми и двумя параллельными прямыми. Соответственно плоскость на чертеже (рис. 3.1) может быть задана проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (а), прямой и точки, взятой вне прямой (б), двух пересекающихся прямых (в), двух параллельных прямых (г). Проекции любой плоской фигуры также могут служить заданием плоскости на чертеже; например, см. на рис. 3.10 изображение плоскости проекциями треугольника.

Положение плоскости относительно плоскостей проекций

Плоскость относительно плоскостей проекций может занимать следующие положения: 1) не перпендикулярно к плоскостям проекций; 2) перпендикулярно к одной плоскости проекций; 3) перпендикулярно к двум плоскостям проекций.

Плоскость, не перпендикулярную ни к одной из плоскостей проекций, называют плоскостью общего положения (см. рис. 3.1).

Второе и третье положения плоскостей являются частными случаями. Плоскости в этих положениях называют проецирующими плоскостями.

Плоскость, перпендикулярная одной плоскости проекций. Наглядное изображение плоскости а, заданной треугольником ABC и перпендикулярной плоскости ∏!, приведено на рис. 3.2, ее чертеж – на рис. 3.3. Такую плоскость называют горизонтально проецирующей .

Наглядное изображение плоскости β, заданной параллелограммом ABCD , перпендикулярной фронтальной плоскости проекций, приведено на рис. 3.4, ее чертеж – на рис. 3.5. Такую плоскость называют фронтально проецирующей .

Чертеж плоскости в виде треугольника с проекциями А "В"С" А "В"С", A ""B tnC"", перпендикулярной профильной плоскости проекций, показан на рис. 3.6. Такую плоскость называют профильно-проецирующей.

Следы плоскостей. Линию пересечения плоскости с плоскостью проекций называют следом . Линия пересечения некоторой плоско-

сти а, заданной треугольником АВС, с плоскостью π, обозначена a", a с плоскостью π2 – а" (см. рис. 3.2).

Линию пересечения плоскости с плоскостью π, называют горизонтальным следом, с плоскостью π2 – фронтальным следом, с плоскостью π, – профильным следом.

Для плоскости а, перпендикулярной плоскости π, горизонтальный след а" (см. рис. 3.2,3.3) располагается под углом к оси х, соответствующем углу наклона этой плоскости к фронтальной плоскости проекций, а фронтальный след а" – перпендикулярно оси х.

Аналогично для некоторой плоскости β, перпендикулярной плоскости π2 (см. рис. 3.4,3.5), фронтальный след β" располагается под углом к оси х, соответствующему углу наклона этой плоскости к плоскости ∏), а горизонтальный след β" – перпендикулярно оси х.

На чертежах тот след, который перпендикулярен оси проекций, обычно, когда она не участвует в построениях, не изображают.

Свойство проекций геометрических элементов, лежащих в проецирующих плоскостях (см. § 1.1, ∏. 1, в). Проецирующая плоскость изображается прямой

линией на той плоскости проекций, к которой она перпендикулярна. Следовательно, и любая замкнутая геометрическая фигура, лежащая в проецирующей плоскости, проецируется на эту плоскость проекций в отрезок прямой линии.

Плоскости, перпендикулярные двум плоскостям проекций. Если плоскость перпендикулярна двум плоскостям проекций, то она параллельна третьей плоскости проекций. Такую плоскость называют горизонтальной (параллельная плоскости π,), фронтальной (параллельная плоскости π2) и профильной (параллельная плоскости π3).

Примеры их наглядных изображений и чертежей приведены на рис. 3.7, а, б (фронтальная плоскость у и принадлежащая ей точка А), на рис. 3.8, а, б (горизонтальная плоскость β и принадлежащая ей точка В), на рис. 3.9, а, б (профильная плоскость а и принадлежащая ей точка Q.

Здесь из принятых нами аксиом стереометрии мы получим важные теоремы и следствия о прямых и плоскостях. Сами по себе они достаточно очевидны. Рассмотрим их доказательства, которые показывают, как какое-либо утверждение можно строго вывести из аксиом со всеми необходимыми ссылками.

2.1 Задание прямой двумя точками

Доказательство. В п. 1.1 уже доказано, что через каждые две точки А, В проходит прямая а.

Докажем, что эта прямая только одна. Прямая а лежит в некоторой плоскости а. Допустим, что, кроме прямой а, через точки А, В проходит ещё прямая b (рис. 31). По аксиоме 3 прямая, имеющая с плоскостью две общие точки, лежит в этой плоскости. Так как прямая b имеет с а общие точки А и B, то b лежит в плоскости α.

Рис. 31

Но в плоскости а выполняется планиметрия, и, следовательно, через две точки А и B проходит только одна прямая. Значит, прямые а и b совпадают. Таким образом, через точки А и В проходит только одна прямая.

Следствие. В пространстве (как и на плоскости) две различные прямые не могут иметь более одной общей точки.

Две прямые, имеющие единственную общую точку, называются пересекающимися.

Замечание. Не всегда предложение, справедливое в планиметрии, верно и в стереометрии. Так, например, в плоскости через две данные точки N, S проходит лишь одна окружность с диаметром NS, а в пространстве таких окружностей бесконечное множество - в каждой плоскости, проходящей через точки N, S, лежит такая окружность (рис. 32, а).

Рис. 32

Но прямая, проходящая через точки N, S в пространстве, лишь одна. Эта общая прямая всех плоскостей, проходящих через точки N, S (рис. 32, б).

Доказав, что в пространстве через каждые две точки проходит единственная прямая, мы можем задавать прямую в пространстве любой парой её точек, не заботясь о том, в какой плоскости эта прямая лежит. Прямая, проходящая через точки А, B, обозначается (АВ).

Аналогичное верно и для отрезков: каждые две точки в пространстве служат концами единственного отрезка.

2.2 Задание плоскости тремя точками

Доказательство. Пусть точки А, B, С не лежат на одной прямой. По аксиоме плоскости через эти точки проходит некоторая плоскость а (см. рис. 6). Докажем, что она только одна.

Допустим, что через точки А, B, С проходит ещё одна плоскость (3, отличная от а. Плоскости а и р имеют общие точки (например, точку А). По аксиоме 2 пересечением плоскостей α и β является их общая прямая. На этой прямой лежат все общие точки плоскостей α и β, а значит, точки A, B, С. Но это противоречит условию теоремы, так как согласно ему A, B, С не лежат на одной прямой. Итак, через точки А, В, С проходит лишь одна плоскость α.

Плоскость, проходящую через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, обозначают (ABC).

Легко проиллюстрировать теорему 2. Например, положение двери фиксируется двумя дверными петлями и замком.

2.3 Задание плоскости прямой и точкой и двумя прямыми

Доказательство. Пусть даны прямая а и не лежащая на ней точка А. Возьмём на прямой а две точки B и С (рис. 33). Точка А не лежит с ними на одной прямой, так как через точки B и С проходит лишь одна прямая - это прямая а, а точка А не лежит на ней по условию теоремы.

Рис. 33

Через точки А, B, С, не лежащие на одной прямой, проходит (по теореме 2) единственная плоскость АBС. Прямая а имеет с ней две общие точки B и С и, значит, по аксиоме 3 лежит в ней. Таким образом, плоскость АBС и есть плоскость, проходящая через прямую а и точку А.

Единственность такой плоскости докажем способом от противного.

Пусть есть ещё одна плоскость β, содержащая прямую а и точку А. Тогда она содержит точки B и С. По теореме 2 она должна совпадать с плоскостью АBС. Полученное противоречие и доказывает единственность.

Вот иллюстрация этой теоремы: поворачивая переплёт книги, вы в каждый момент пальцами фиксируете его положение.

Доказательство. Пусть прямые а и b пересекаются в точке А. Возьмём на прямой b другую точку B (рис. 34). По теореме 3 через прямую а и точку В проходит плоскость а. Согласно аксиоме 3 прямая Ь лежит в этой плоскости, так как имеет с ней две общие точки А и В. Значит, плоскость а проходит через прямые а и b. Единственность такой плоскости докажите самостоятельно способом от противного.

Рис. 34

Теперь мы знаем три способа задания плоскости:

1. тремя точками, не лежащими на одной прямой;
2. прямой и не лежащей на ней точкой;
3. двумя пересекающимися прямыми.

Вопросы для самоконтроля

1. Какие вы знаете способы задания прямой в пространстве?
2. Какие вы знаете способы задания плоскости?

Положение плоскости в пространстве может быть определено на чертеже одним из следующих способов:

1. Тремя точками, не лежащими на одной прямой (рис. 35 ).

2. Прямой и точкой, не лежащей на этой прямой (рис. 36 ).

3. Двумя пересекающимися прямыми (рис. 37) .

4. Двумя параллельными прямыми (рис. 38 ).

5. Плоской фигурой (рис. 39 ).

6. Следами (рис. 40, 41 ).

7. Параметрами плоскости.

Следы плоскости

Следом плоскости называется линия пересечения плоскости с плоскостью проекций. След плоскости обозначается той же буквой, что и плоскость с подстрочным знаком, соответствующим имени плоскости проекций, с которой пересекается данная. Если плоскость (назовем ее P ) не параллельна, какой-либо плоскости проекций, то она пересекает все три плоскости проекций и, следовательно, имеет три следа – горизонтальный P H , фронтальный P V и профильный P W (рис. 40, 41 ). Как и любая прямая, любой след плоскости имеет три проекции, но, для облегчения чтения эпюра, принято обозначать только ту проекцию следа, которая не совпадает с осью проекций. Положение любого следа плоскости, как и любой прямой, определяется положением двух ее точек. Для следов плоскости такими точками могут являться точки, называемые точками схода следов , то есть точки, в которых плоскость пересекает оси координат – P x , P y , P z . Численные значения координат x , y , и z точек схода следов называются параметрами плоскости .

Положение плоскости в пространстве определяется тремя ее точками, не лежащими на одной прямой. Поэтому чтобы задать на эпюре плоскость, достаточно задать три ее точки (рис. 206). Плоскость можно задать точкой и прямой (рис. 207, а), двумя параллельными прямыми (рис. 207, б), двумя пересекающимися прямыми (рис. 207, в), треугольником (рис. 207, г).

Можно задать плоскость следами. Следом плоскости называют прямую, по которой данная плоскость пересекает плоскость проекций. На рис. 208 Pv - фронтальный след плоскости Р, Рн - горизонтальный след плоскости Р, Pw - профильный след плоскости Р.

Различные случаи расположения плоскостей относительно плоскостей проекций

Плоскость общего положения - плоскость, расположенная наклонно ко всем плоскостям проекций (рис. 208). Такая плоскость пересекается с тремя плоскостями проекций по прямым, которые являются следами этой плоскости. Каждая пара следов сходится в точке, которая называется точкой схода следов плоскости и располагается на оси проекций. Плоскость общего положения имеет три точки схода, которые обозначаются Рх, Ру, Рz. В этих точках плоскость пересекает оси координат. Плоские фигуры, лежащие в плоскости общего положения, проецируются проекций с искажением.

Проецирующая плоскость - плоскость, перпендикулярная какой-либо плоскости проекций.

Горизонтально - проецирующая плоскость - плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций Н (рис. 209).

Фронтально - проецирующая плоскость - плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекции (рис. 210).

Профильно-проецирующая плоскость - плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций (рис. 211).

Проецирующая плоскость проецируется на плоскость проекций, к которой она перпендикулярна, в прямую. Па рис. 209 плоскость Р горизонтально-проецирующая, ΔАВС, лежащий в плоскости Р, проецируется в отрезок прямой линии, который совпадает со следом плоскости Рн. На рис. 210 ΔDEF, принадлежащий фронтально-проецирующей плоскости R, проецируется в отрезок, совпадающий со следом плоскости Rv. На рис. 211 ΔKMN, лежащий в профильно-проецирующей плоскости Q, проецируется на плоскость W в отрезок, совпадающий со следом плоскости Qw. Поэтому проецирующие плоскости часто используются в качестве вспомогательных при различных построениях. Например, чтобы через прямую AB провести горизонтально-проецирующую плоскость (рис. 212), достаточно через горизонтальную проекцию прямой ab провести горизонтальный след этой плоскости, так как все, что в этой плоскости лежит, в том числе и прямая AB, проецируется на ее горизонтальный след. Фронтальный след фронтально-проецирующей плоскости совпадает с фронтальной проекцией прямой a"b" (рис. 213). Следы проецирующих плоскостей на других плоскостях проекций перпендикулярны соответствующим осям проекций (см. рис. 209, 210, 211).

Рис. 212 Рис. 213

Плоскости, перпендикулярные двум плоскостям проекций, параллельны третьей плоскости проекций . Геометрические фигуры, лежащие в этих плоскостях, проецируются без искажения на ту плоскость проекций, которой параллельна данная плоскость (рис. 214, 215; 216). Называются такие плоскости так же, как и плоскость проекций, параллельно которой они расположены: горизонтальная плоскость (рис. 214), фронтальная плоскость (рис. 215), профильная плоскость (рис. 216).

Всякая геометрическая фигура, погруженная в пространство, состоит из некоторого множества точек пространства. Плоскость как одна из геометрических фигур, представляет собой совокупность множества точек. Из этого определения плоскости можно установить способы задания ее положения в пространстве. Для этого достаточно вспомнить аксиому сочетания – через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну.

На рис. 21 представлены способы задания положения плоскости в пространстве:

а – тремя точками, не лежащими на одной прямой;

б – прямой и точкой, взятой вне прямой;

в – двумя пересекающимися прямыми;

г – двумя параллельными прямыми.

На комплексном чертеже (рис. 22) плоскость может быть задана:

а – проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой;

б – проекциями прямой и точки, взятой вне прямой;

в – проекциями двух пересекающихся прямых;

г – проекциями двух параллельных прямых.

Каждый из представленных на рис. 22 способов задания плоскости на чертеже может быть преобразован из одного в другой. Так, например, проведя через точки А и В (рис. 22, а) прямую, получают задание плоскости, представленное на рис. 22, б. От него можно перейти к способу, представленному на рис. 22, г, если через точку С провести прямую, параллельную прямой АВ. Если точки А, В и С соединить попарно прямыми, то получают треугольник АВС – плоскую фигуру (рис. 23), проекциями которой может быть задана плоскость на чертеже.

При этом всегда следует помнить о том, что плоскость, как геометрическая фигура, безгранична и поэтому нельзя ограничиваться построениями только в пределах площади этого треугольника, так как в общем случае проекции плоскости занимают всю каждую из плоскостей проекций: горизонтальную П I , фронтальную П 2 и профильную П 3 .

Более наглядно плоскость может быть задана при помощи прямых, по которым она пересекает плоскости проекций (рис. 24, а).

Эти прямые называются следами плоскости. В общем случае оба следа должны пересекаться между собой в точке на оси проекций, которую называют «точкой схода следов».

Из всего многообразия положений плоскости относительно заданной системы плоскостей проекций обычно выделяют такие, когда.